純正律と平均律

森口岳雄の「音楽と物理」、研究レポート(その1)
2000年3月5日
改定6版 2002年2月13日
改定7版 2003年7月6日

◆純正律とは

純正律は、3/2、4/3、5/4等のとても単純な振動数の比で音階を作りだしたものです。

1度(完全) 1:1
8度(完全) 1:2
5度(完全) 2:3
4度(完全) 3:4
長3度 4:5
短3度 5:6

純正律では、「ド・ミ・ソ」の和音が4:5:6の比率になっており、とても美しい響きになります。
また、「ファ・ラ・ド」、「ソ・シ・レ」も同じ4:5:6の比率になっています。
「ファ・ラ・ド」の転回形の「ド・ファ・ラ」の比はは(3:4:5)になり、
「ソ・シ・レ」の転回形の「シ・レ・ソ」の比はは(5:6:8)になります。
そして、この「ド・ミ・ソ」「ファ・ラ・ド」、「ソ・シ・レ」の3つの和音には「ドレミファソラシ」の音が1つ以上含まれており、この主要3和音で音階を作ることができます。

  ファ
ドミソ        
ドファラ        
シレソ        

純正律の音程の関係は全て分数で綺麗に表せ和音も綺麗に響きます。
しかし、2度(全音)が大全音と小全音の通り、半音は4通り、増4度に関しても2通り(もしくは6通り)の音程が出てきてしまい、転調のさまたげになるのが欠点と言えます。

◆平均律とは

平均律は、1オクターブを構成する12の音に対し、隣り合う半音に同じ比率を掛け合わせた音階です。
オクターブは、ちょうど2倍の周波数になりますから、その比率は

数式を言葉で表すと:  「2の(12分の1)乗」
Excelの式で表すと:    =2^(1/12)

つまり全ての隣り合う半音は約1.05946・・・倍になっており、半音を12回重ねればちょうどオクターブ上の音になるように出来ています。
半音の数をNとすると、基準となる音からの比率は 「2の(12分のN)乗」で、表やグラフにすると以下のようになります。

音名 半音の数
(N)
基準となる音からの比
=2^(N/12)
C 0 1.00000000
Cis 1 1.05946309
D 2 1.12246205
Dis 3 1.18920712
E 4 1.25992105
F 5 1.33483985
Fis 6 1.41421356
G 7 1.49830708
Gis 8 1.58740105
A 9 1.68179283
B 10 1.78179744
H 11 1.88774863
C 12 2.00000000

 

平均律では、何調で弾いてもこの比は変わらず、どのように転調しても均質な響きが得られるのが特徴です。


◆1度

1度は、基準となる音と全く同じ音です。
したがって、純正律では1/1の比で、平均律では1.0000を掛けたのと同じです。
1度と8度は、平均律と純正律には違いは全くありません。

◆8度(完全8度)

まず、オクターブ上の音は周波数がちょうど2倍の音です。
つまり「ラ(A)」の音(442Hz)のオクターブ上の音は、2倍の周波数(884Hz)です。
これを比で表すと以下のようになります。
  1:2 

また、オクターブ下の音は周波数がちょうど半分になります。
つまり「ラ(A)」の音(442Hz)のオクターブ下の音は、半分の周波数(221Hz)です。
これも比で表すと以下のようになります。
  1:(1/2)

もちろん、これはラの音に限らず、「ドレミファソラシド(CDEFGAHC)」全てに当てはまります。
つまり8度上とは、オクターブ上の音、周波数が2倍の音、すなわち2倍音です。


◆倍音とドミソの和音

ドミソの和音は
 4:5:6
の比、すなわち
1 : 5/4 : 3/2 
となります。

ミはドの音の5倍音 (の2オクターブ下)、
ソはドに音の3倍音 (のオクターブ下)、
ですから、最も単純な倍音のみでドミソの和音は構成されます。
逆に倍音で並べてみると
1倍音: ド
2倍音: ド (のオクターブ上)
3倍音: ソ (のオクターブ上)
4倍音: ド (の2オクターブ上)
5倍音: ミ (の2オクターブ上)
6倍音: ソ (の2オクターブ上)
ですから、1から6までの基本的な倍音は全てドミソの音になります。

◆ドミソ・ドファラ・シレソの主要3和音から「ドレミファソラシド」の音階を作る

  ドミソの和音(4:5:6)
  ドファラの和音(3:4:5)
  シレソの和音(5:6:8)

「ドミソ」の「ド」の音を基準にすると、ドミソの和音は
   1 : (5/4) : (3/2)
となります。

「ドファラ」の和音は「ド」の音を基準にすると、
   1 : (4/3) : (5/3)
となります。

「シレソ」は「シ」の音を基準にするのではなく、既に「ドミソ」で出てきた「ソ」の音が「ド」を基準にすると(3/2)倍であることを知っていますので、「シレソ」は「ド」を基準に考えて
   (5/8)*(3/2) : (6/8)*(3/2) : (8/8)*(3/2)
すなわち
   (15/16) : (9/8) : (3/2)
であることがわかります。

したがって主要3和音から、ドレミファソラシドのそれぞれの音の比を表にすると以下のようになります。

  ファ
ドミソ   1   5/4   3/2      
ドファラ   1     4/3   5/3    
シレソ 15/16   9/8     3/2   15/8  
音階 15/16 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1

◆それぞれの和音とオクターブとの関係

下の図は、それぞれの和音とオクターブの関係を示したもので、マス1個が半音となっています。
マス1個(短2度)からマス12個(8度)までの全ての音が、下の表に現れています。

◆5度(完全5度)

5度とは、
 「ド(C)」の5度上が「ソ(G)」
 「ソ(G)」の5度上が「レ(D)」
 「レ(D)」の5度上が「ラ(A)」
 「ラ(A)」の5度上が「ミ(E)」
で、チェロ、ビオラ、ヴァイオリン等の調弦は5度になっています。
5度上の音と、基準となる音との周波数の比は、既にドミソの和音が
1: 5/4 : 3/2
であることを知っていますから、ドとソが5度(完全5度)であり
その比は  1:(3/2)
です。
すなわち1.5倍の周波数の音となります。 
同様に、5度下の音の比は
  3:2 すなわち  1:(2/3)
となり、5度下の周波数は元の音の2/3倍(0.66666....倍)となります。

ところで、5度を順に12繰り返すと元の音に戻ります。
C, G, D, A, E, H, Fis, Des, As, Es, B, F, C
これらの音には、12音階の全ての音が含まれます。
しかし、残念なことに5度を重ねて音を取っていくとずれが生じてしまいます。
例えば、5度を12回重ねたCの音は、
 (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) = 531441 / 4096
ですので、小数点で表すと
129.7463
になります。
本来、この音はCの7オクターブ上の音ですので、
2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128
とならなければなりません。
従って、5度を12回重ねたCの音は、実際のCの7オクターブ上の音よりも高い音になります。

◆4度(完全)

4度とは、
 「ミ(E)」の4度上が「ラ(A)」
 「ラ(A)」の4度上が「レ(D)」
 「レ(D)」の4度上が「ソ(G)」
 「ソ(G)」の4度上が「ド(C)」
で、ギター、コントラバス等の調弦は4度になっています。
4度上の音と、基準となる音との周波数の比は
  4:3 (4/3)
すなわち4/3倍(1.33333倍)の周波数の音となります。 
同様に、4度下の音の比は
  3:4 (3/4)
となり、4度下の周波数は元の音の3/4倍(0.75倍)となります。

4度についても5度と同様に、4度を順に12繰り返すと元の音に戻ります。
C, F, B, Es, As, Des, Fis, H, E, A, D, G, C
これらの音には、12音階の全ての音が含まれます。
これも、5度と同様に、4度を重ねて音を取っていくとずれが生じてしまいます。
例えば、4度を12回重ねたCの音は、
 (4/3) * (4/3) * (4/3) * (4/3) * (4/3) * (4/3) *(4/3) * (4/3) * (4/3) *(4/3) * (4/3) * (4/3) = 16777216 / 531441
ですので、小数点で表すと
31.56929
になります。
本来、この音はCの5オクターブ上の音ですので、
2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32
とならなければなりません。
従って、4度を12回重ねたCの音は、実際のCの5オクターブ上の音よりも低い音になります。


◆長3度

ドミソの和音で説明済みですが、ドとミの関係は(5/4)、すなわち
 長3度上: (5/4)
でになります。

◆短3度

これもドミソの和音で説明済みですが、
 短3度上: (6/5)
です。
「ド(C)」の長3度上が「ミ(E)」で、
「ミ(E)」の短3度上が「ソ(G)」ですので、これは以下の式でも綺麗に表せます。
 (5/4) * (6/5) = (3/2)
つまり、長3度上(5/4)の短3度上(6/5)が5度上(3/2)になっています。

◆2度(長2度)

これまで、(N+1)/N  (N=1,2,3,4,5 ....)
で8度、5度、4度、長3度、短3度が表されてきましたが、
  2度上: (9/8) または (10/9)
の2通りが存在しています。
5度上(3/2)の4度下(3/4)が2度上ですので、
(3/2) * (3/4) = (9/8)
とまず(9/8)が見つかりました。
では、長3度上(5/4)の2度下(8/9)が2度ですので
  (5/4) * (8/9) = (10/9)
と、今度は2度が(10/9)となりました。

しかし、「ドレミ」という単純な音階も、
「ド」と「レ」、「レ」と「ミ」が長2度の関係にあるのに、両方を(9/8)または(10/9)でとってしまうと
  (9/8) * (9/8) = (81/64)
  (10/9) * (10/9) = (100/81)
となってしまい、「ド」と「ミ」の長3度(5/4)にはなりません。
(5/4)にするには片方が(9/8)、そしてもう片方が(10/9)でなければなりません。
  (9/8) * (10/9) = (5/4)

(9/8)と間隔の広い方の全音のことを、音楽用語で大全音(英語ではmajor whole tone)、
(10/9)と間隔の狭い方の全音のことを、音楽用語で小全音(英語ではminor tone)といいます。

「ドレミ」という単純な音も、「ド」と「レ」の間隔と、「レ」と「ミ」の間隔は違いがあり、
「ド」と「レ」は大全音で、「レ」と「ミ」は小全音にして、純正律の長3度の「ドミ」にします。

◆短2度(半音)

半音も (N+1)/N にあてはまり、
半音上: (16/15)
です。
4度上(4/3)の長3度下(4/5)が半音ですので、
(4/3) * (4/5) = (16/15)
の式が成立します。
しかし、半音上の半音上の上は2度上(9/8または10/9)になって欲しいのですが、
(16/15) * (16/15) = (256/225)
で2度上にはなりません。
(16/15) * (25/24) = (10/9)
が成立しますので、(25/24)も半音と見なせなくありません。
さらに、
(17/16) * (18/17) = (9/8)
ですので、(17/16) や (18/17) も半音と見なせます。

また、半音上を12回繰り返せば8度上(オクターブ上)となりますが、
平均律の場合は均等に分割されて、
  半音上: 1.059463 倍
ですのでこれを12回繰り返せば、綺麗にオクターブ上(2.0000)になりますが、
純正律の場合は、異なる値の半音を組み合わせなければ綺麗に2倍になりません。
ですので、これら4種類の半音を組み合わせて
(17/16)*(18/17)*(16/15)*(25/24)*(16/15)*(17/16)*(18/17)*(16/15)*(25/24)*(17/16)*(18/17)*(16/15)
が、オクターブ上になります。

◆短6度

「ミ・ド」、「ラ・ファ」、「シ・ソ」等の和音が短6度です。
 短6度: (8/5)
8度上(2/1)の長3度下(4/5)が短6度で
 (2/1) * (4/5) = (8/5)
が成り立ちます。

◆長6度

「ド・ラ」、「レ・シ」、「ファ・レ」、「ソ・ミ」等の和音が長6度で、
「ド・ラ」、「レ・シ」、「ソ・ミ」の場合は、
 (5/3) 
となりますが
「ファ・レ」の場合は
(18/8) / (4/3) = (27/16)
となりますので、二通りの長6度があります。
平均律では、長6度は
  1.681793
ですので、純正律の2種類の長6度を小数で表すと
 5/3 = 1.666666
 27/16 = 1.6875
このようになりますので、(5/3)の時は低めに、(27/16)の時は若干高めになります。
前者(5/3)は完全5度に小全音を加えた幅で、
後者(27/16)は完全5度に大全音を加えた幅になります。

◆短7度(増6度)

短7度: (16/9) または (9/5) または (30/17)
これは単純に4度上(4/3)の4度上(4/3)と考えて
 (4/3) * (4/3) = (16/9)
となりますが、他に
5度上(3/2)の短3度上(6/5)
(3/2) * (6/5) = (9/5)
の2つがあります。
これらの異なる短7度でかけ算すると、 
 (16/9) * (9/5) = (16/5)
で、これは、短6度(8/5)の8度上(2/1)
 (8/5) * (2/1) = (16/5)
になります。
他に、増4度(24/17)の長3度(5/4)上
 (24/17)*(5/4)=(30/17)もあります。

◆長7度

5度上(3/2)の長3度上(5/4)で
 (3/2) * (5/4) = (15/8)
となります。
8度上(2/1)の半音下(15/16)でも
 (2/1) * (15/16) = (15/8)
なので同じです。

◆増4度(減5度)

この音は純正律で最も出しにくい音です。

増4度は、C-Fis, Cis-G, D-Gis, Es-A, E-B, F-H, Fis-C, G-Cis, Gis-D, A-Es, B-E, H-F
の組み合わせがあり、オクターブの中間の音と考えると
C-Fis-C
Cis-G-Cis
D-Gis-D
Es-A-Es
E-B-E
F-H-F
この組み合わせがあります。
黒鍵を使わずに白鍵だけで弾けるのは、この中のF-H-Fの組み合わせだけで、
F-H(ファ・シ)の比は、
(15/8) / (4/3) = (45/32)
H-F(シ・ファ)の比は、
(8/3) / (15/8) = (64/45)
となります。

増4度の増4度上の音がちょうど1オクターブ上の音になりますから、本来はルート2の値(1.41421356)ですが、
残念ながら、この(45/32)も(64/45)もルート2からは外れていますし、分子分母の値もかなり大きく、純正な響きとは言いがたいです。
他の組み合わせで、分子分母の値がこれより小さいものは、
(17/12)、(24/17) および
(25/18)、(36/25) があります。

分数 少数 関係
17/12 1.4166666 完全5度(3/2)の半音下(17/18) (3/2) * (17/18) = (17/12
24/17 1.4117647 完全5度(3/2)の半音下(16/17) (3/2) * (16/17) = (24/17)
25/18 1.3888888 長3度上の2度上 (5/4) * (10/9) = (25/18)
36/25 1.44 短3度上の短3度上 (6/5) * (6/5) = (36/25)
45/32 1.40625 完全5度(3/2)の半音下(15/16) (5/4) * (9/8) = (45/32)
64/45 1.4222222 完全4度(4/3)の半音上(16/15) (4/3) * (16/15) = (64/45)

この3つの組み合わせパターンで最も純正律としてふさわしいのは、ルート2の値に近く、また分子分母も小さい(17/12)と(24/17)の組でしょう。
ただ、一般的には「ファ・シ」(45/32)や「シ・ファ」(64/45)を採用している文献が多く、中には「ファ・シ」(45/32)のみを純正律の増4度と呼ぶこともあります。
分子分母の値を素数に分解すると、2、3、5という5までの素数に分けられる事を重視すると、(45/32)とい比は純正律にふさわしいですが、合理性と響きの美しさを考えると(17/12)を私は推します。
ただし、17倍音を基本にした音ですので、厳密な意味では純正律として挙げることは出来ないかもしれません。

◆純正律の半音と全音

純正律の12音を全て比で表すと以下のようになります。

音名 半音の数 第1候補 その他 その他 その他 その他 その他
C 1度 1/1          
  短2度 16/15 (17/16) (18/17) (25/24)    
D 2度 9/8 (10/9)        
  短3度 6/5          
E 長3度 5/4          
F 4度 4/3          
  増4度 (17/12) (24/17) (25/18) (36/25) (45/32) (64/45)
G 5度 3/2          
  短6度 8/5          
A 長6度 5/3 (27/16)        
  10 短7度 (9/5) (16/9) (30/17)      
H 11 長7度 15/8          
C 12 8度 2/1          

美しい響きを持つ純正律ですが、半音は4通り、全音も2通り(大全音と小全音)あります。
これらを使い分けなければ、美しい和音を作り出すことはできません。

最初に、「ドミソ」「ドファラ」「シレソ」の主要3和音から「ドレミファソラシド」を作りましたが、半音や全音をどのように使い分けたらいいか考えてします。

音名(半音/全音) C(ド)を基準にした比 隣の音との比
C(ド) 1/1  
全音   9/8
D(レ) 9/8  
全音   10/9
E(ミ) 5/4  
半音   16/15
F(ファ) 4/3  
全音   9/8
G(ソ) 3/2  
全音   10/9
A(ラ) 5/3  
全音   9/8
H(シ) 15/8  
半音   16/15
C(ド) 2/1  

この表から、半音は臨時記号の無い限り、16/15の比が使えます。
全音は、2通りが使用され
「ドレ」、「ファソ」、「ラシ」は幅の広い大全音(9/8)を使い、
「レミ」、「ソラ」は幅の狭い小全音(10/9)を使っていることが分かります

広い全音(9/8)の場合の半音の組み合わせは
(17/16) * (18/17) = (9/8)

狭い全音(10/9)の場合の半音の組み合わせは
(16/15) * (25/24) = (10/9)
となります。

今度は、これをさらに細かく分けて12音の全ての半音を調べてみます。

音名 Cを基準にした比 隣の音との比
C 1/1  
    17/16 , 18/17
Cis 17/16 または 18/17  
    18/17 , 17/16
D 9/8  
    16/15
Dis 6/5  
    25/24
E 5/4  
    16/15
F 4/3  
    (17/16), (18/17)
Fis 17/12または 24/17  
    (18/17) , (17/16)
G 3/2  
    16/15
Gis 8/5  
    25/24
A 5/3  
    (18/17)
Ais 30/17  
    (17/16)
H 15/8  
    16/15
C 2/1  

◆平均律と純正律の比較

最後に、平均律と純正律でどれぐらいの違いがあるのか、
表にまとめてみました。

    平均律 純正律
音名 半音
の数
基準音からの比率 基準音からの比率
(小数点)
基準音からの比率
(分数)
C 0 1.00000000 1.00000000 1/1
Cis 1 1.05946309 1.06666667 16/15
D 2 1.12246205 1.12500000 9/8
Dis 3 1.18920712 1.20000000 6/5
E 4 1.25992105 1.25000000 5/4
F 5 1.33483985 1.33333333 4/3
Fis 6 1.41421356 1.41666667 17/12
G 7 1.49830708 1.50000000 3/2
Gis 8 1.58740105 1.60000000 8/5
A 9 1.68179283 1.66666667 5/3
B 10 1.78179744 1.80000000 9/5
H 11 1.88774863 1.87500000 15/8
C 12 2.00000000 2.00000000 2/1

 

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