純正律と平均律

森口岳雄の「音楽と物理」、研究レポート（その１）
２０００年３月５日
改定６版　２００２年２月１３日
改定７版　２００３年７月６日

◆純正律とは

純正律は、３／２、４／３、５／４等のとても単純な振動数の比で音階を作りだしたものです。

純正律では、「ド・ミ・ソ」の和音が４：５：６の比率になっており、とても美しい響きになります。
また、「ファ・ラ・ド」、「ソ・シ・レ」も同じ４：５：６の比率になっています。
「ファ・ラ・ド」の転回形の「ド・ファ・ラ」の比はは（３：４：５）になり、
「ソ・シ・レ」の転回形の「シ・レ・ソ」の比はは（５：６：８）になります。
そして、この「ド・ミ・ソ」「ファ・ラ・ド」、「ソ・シ・レ」の３つの和音には「ドレミファソラシ」の音が１つ以上含まれており、この主要３和音で音階を作ることができます。

純正律の音程の関係は全て分数で綺麗に表せ和音も綺麗に響きます。
しかし、２度（全音）が大全音と小全音の通り、半音は４通り、増４度に関しても２通り（もしくは６通り）の音程が出てきてしまい、転調のさまたげになるのが欠点と言えます。

◆平均律とは

平均律は、１オクターブを構成する１２の音に対し、隣り合う半音に同じ比率を掛け合わせた音階です。
オクターブは、ちょうど２倍の周波数になりますから、その比率は

数式を言葉で表すと：　　「２の（１２分の１）乗」
Excelの式で表すと：　　　　=2^(1/12)

つまり全ての隣り合う半音は約1.05946・・・倍になっており、半音を１２回重ねればちょうどオクターブ上の音になるように出来ています。
半音の数をＮとすると、基準となる音からの比率は　「２の（１２分のＮ）乗」で、表やグラフにすると以下のようになります。

平均律では、何調で弾いてもこの比は変わらず、どのように転調しても均質な響きが得られるのが特徴です。

◆１度

１度は、基準となる音と全く同じ音です。
したがって、純正律では１／１の比で、平均律では1.0000を掛けたのと同じです。
１度と８度は、平均律と純正律には違いは全くありません。

◆８度（完全８度）

まず、オクターブ上の音は周波数がちょうど２倍の音です。
つまり「ラ（Ａ）」の音(442Hz)のオクターブ上の音は、２倍の周波数(884Hz)です。
これを比で表すと以下のようになります。
　　１：２　

また、オクターブ下の音は周波数がちょうど半分になります。
つまり「ラ（Ａ）」の音(442Hz)のオクターブ下の音は、半分の周波数(221Hz)です。
これも比で表すと以下のようになります。
　　１：（１／２）

もちろん、これはラの音に限らず、「ドレミファソラシド(CDEFGAHC)」全てに当てはまります。
つまり８度上とは、オクターブ上の音、周波数が２倍の音、すなわち２倍音です。

◆倍音とドミソの和音

ドミソの和音は
　４：５：６
の比、すなわち
１　：　５／４　：　３／２　
となります。

ミはドの音の５倍音　（の２オクターブ下）、
ソはドに音の３倍音　（のオクターブ下）、
ですから、最も単純な倍音のみでドミソの和音は構成されます。
逆に倍音で並べてみると
１倍音：　ド
２倍音：　ド　（のオクターブ上）
３倍音：　ソ　（のオクターブ上）
４倍音：　ド　（の２オクターブ上）
５倍音：　ミ　（の２オクターブ上）
６倍音：　ソ　（の２オクターブ上）
ですから、１から６までの基本的な倍音は全てドミソの音になります。

◆ドミソ・ドファラ・シレソの主要３和音から「ドレミファソラシド」の音階を作る

　　ドミソの和音（４：５：６）
　　ドファラの和音（３：４：５）
　　シレソの和音（５：６：８）

「ドミソ」の「ド」の音を基準にすると、ドミソの和音は
　　　１　：　（５／４）　：　（３／２）
となります。

「ドファラ」の和音は「ド」の音を基準にすると、
　　　１　：　（４／３）　：　（５／３）
となります。

「シレソ」は「シ」の音を基準にするのではなく、既に「ドミソ」で出てきた「ソ」の音が「ド」を基準にすると（３／２）倍であることを知っていますので、「シレソ」は「ド」を基準に考えて
　　　（５／８）＊（３／２）　：　（６／８）＊（３／２）　：　（８／８）＊（３／２）
すなわち
　　　（１５／１６）　：　（９／８）　：　（３／２）
であることがわかります。

したがって主要３和音から、ドレミファソラシドのそれぞれの音の比を表にすると以下のようになります。

◆それぞれの和音とオクターブとの関係

下の図は、それぞれの和音とオクターブの関係を示したもので、マス１個が半音となっています。
マス１個（短２度）からマス１２個（8度）までの全ての音が、下の表に現れています。

• (A)は１度と８度の関係です。つまり「ド・ド（オクターブ上）」の関係です。
• (B)は５度の４度上が１オクターブ上の音になることが分かります。「ド・ソ・ド」の関係です。
• (C)、５度は長3度と短3度に分けられます。つまり「ド・ミ・ソ・ド」の関係です。
  余談になりますが、長3度と短3度の順番を逆にして基本の音を「ラ」にすると「ラ・ド・ミ・ラ」の短調の和音になります。
• (D)は長3度の短6度上の音がオクターブ上の音になることが分かります。
• (E)は短3度の長6度上の音がオクターブ上の音になることが分かります。
• (F)、短3度は２度と短２度に分けられます。
• (G)は、２度の短７度上の音がオクターブ上の音になることが分かります。
• (H)は、短２度の長７度上の音がオクターブ上の音になることが分かります。
• (I)は、増４度の増４度上の音がオクターブ上の音になることが分かります。

◆５度（完全５度）

５度とは、
　「ド(C)」の５度上が「ソ(G)」
　「ソ(G)」の５度上が「レ(D)」
　「レ(D)」の５度上が「ラ(A)」
　「ラ(A)」の５度上が「ミ(E)」
で、チェロ、ビオラ、ヴァイオリン等の調弦は５度になっています。
５度上の音と、基準となる音との周波数の比は、既にドミソの和音が
１：　５／４　：　３／２
であることを知っていますから、ドとソが５度（完全５度）であり
その比は　　１：（３／２）
です。
すなわち1.5倍の周波数の音となります。　
同様に、５度下の音の比は
　　３：２　すなわち　　１：（２／３）
となり、５度下の周波数は元の音の2/3倍（0.66666....倍）となります。

ところで、５度を順に１２繰り返すと元の音に戻ります。
C, G, D, A, E, H, Fis, Des, As, Es, B, F, C
これらの音には、１２音階の全ての音が含まれます。
しかし、残念なことに５度を重ねて音を取っていくとずれが生じてしまいます。
例えば、５度を１２回重ねたＣの音は、
　(3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) = 531441 / 4096
ですので、小数点で表すと
129.7463
になります。
本来、この音はCの７オクターブ上の音ですので、
2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128
とならなければなりません。
従って、５度を１２回重ねたＣの音は、実際のCの７オクターブ上の音よりも高い音になります。

◆４度（完全）

４度とは、
　「ミ(E)」の４度上が「ラ(A)」
　「ラ(A)」の４度上が「レ(D)」
　「レ(D)」の４度上が「ソ(G)」
　「ソ(G)」の４度上が「ド(C)」
で、ギター、コントラバス等の調弦は４度になっています。
４度上の音と、基準となる音との周波数の比は
　　４：３　（４／３）
すなわち4/3倍（1.33333倍）の周波数の音となります。　
同様に、４度下の音の比は
　　３：４　（３／４）
となり、４度下の周波数は元の音の3/4倍（0.75倍）となります。

４度についても５度と同様に、４度を順に１２繰り返すと元の音に戻ります。
C, F, B, Es, As, Des, Fis, H, E, A, D, G, C
これらの音には、１２音階の全ての音が含まれます。
これも、５度と同様に、４度を重ねて音を取っていくとずれが生じてしまいます。
例えば、４度を１２回重ねたＣの音は、
　(4/3) * (4/3) * (4/3) * (4/3) * (4/3) * (4/3) *(4/3) * (4/3) * (4/3) *(4/3) * (4/3) * (4/3) = 16777216 / 531441
ですので、小数点で表すと
31.56929
になります。
本来、この音はCの5オクターブ上の音ですので、
2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32
とならなければなりません。
従って、４度を１２回重ねたＣの音は、実際のCの５オクターブ上の音よりも低い音になります。

◆長３度

ドミソの和音で説明済みですが、ドとミの関係は(5/4)、すなわち
　長３度上：　(5/4)
でになります。

◆短３度

これもドミソの和音で説明済みですが、
　短３度上：　(6/5)
です。
「ド(C)」の長３度上が「ミ(E)」で、
「ミ(E)」の短３度上が「ソ(G)」ですので、これは以下の式でも綺麗に表せます。
　(5/4) * (6/5) = (3/2)
つまり、長３度上(5/4)の短３度上(6/5)が５度上(3/2)になっています。

◆２度（長２度）

これまで、(N+1)/N　 (N=1,2,3,4,5 ....)
で８度、５度、４度、長３度、短３度が表されてきましたが、
　　２度上：　(9/8) または　(10/9)
の２通りが存在しています。
５度上(3/2)の４度下(3/4)が２度上ですので、
(3/2) * (3/4) = (9/8)
とまず(9/8)が見つかりました。
では、長３度上(5/4)の２度下(8/9)が２度ですので
　 (5/4) * (8/9) = (10/9)
と、今度は２度が(10/9)となりました。

しかし、「ドレミ」という単純な音階も、
「ド」と「レ」、「レ」と「ミ」が長２度の関係にあるのに、両方を(9/8)または(10/9)でとってしまうと
　　(9/8) * (9/8) = (81/64)
　　(10/9) * (10/9) = (100/81)
となってしまい、「ド」と「ミ」の長３度(5/4)にはなりません。
(5/4)にするには片方が(9/8)、そしてもう片方が(10/9)でなければなりません。
　　(9/8) * (10/9) = (5/4)

(9/8)と間隔の広い方の全音のことを、音楽用語で大全音（英語ではmajor whole tone)、
(10/9)と間隔の狭い方の全音のことを、音楽用語で小全音（英語ではminor tone)といいます。

「ドレミ」という単純な音も、「ド」と「レ」の間隔と、「レ」と「ミ」の間隔は違いがあり、
「ド」と「レ」は大全音で、「レ」と「ミ」は小全音にして、純正律の長３度の「ドミ」にします。

◆短２度（半音）

半音も　(N+1)/N　にあてはまり、
半音上：　(16/15)
です。
４度上(4/3)の長３度下(4/5)が半音ですので、
(4/3) * (4/5) = (16/15)
の式が成立します。
しかし、半音上の半音上の上は２度上(9/8または10/9)になって欲しいのですが、
(16/15) * (16/15) = (256/225)
で２度上にはなりません。
(16/15) * (25/24) = (10/9)
が成立しますので、(25/24)も半音と見なせなくありません。
さらに、
(17/16) * (18/17) = (9/8)
ですので、(17/16) や (18/17) も半音と見なせます。

また、半音上を１２回繰り返せば８度上（オクターブ上）となりますが、
平均律の場合は均等に分割されて、
　　半音上：　1.059463 倍
ですのでこれを１２回繰り返せば、綺麗にオクターブ上(2.0000)になりますが、
純正律の場合は、異なる値の半音を組み合わせなければ綺麗に２倍になりません。
ですので、これら４種類の半音を組み合わせて
(17/16)*(18/17)*(16/15)*(25/24)*(16/15)*(17/16)*(18/17)*(16/15)*(25/24)*(17/16)*(18/17)*(16/15)
が、オクターブ上になります。

◆短６度

「ミ・ド」、「ラ・ファ」、「シ・ソ」等の和音が短６度です。
　短６度：　(8/5)
８度上(2/1)の長３度下(4/5)が短６度で
　(2/1) * (4/5) = (8/5)
が成り立ちます。

◆長６度

「ド・ラ」、「レ・シ」、「ファ・レ」、「ソ・ミ」等の和音が長６度で、
「ド・ラ」、「レ・シ」、「ソ・ミ」の場合は、
　(5/3)　
となりますが
「ファ・レ」の場合は
(18/8) / (4/3) = (27/16)
となりますので、二通りの長６度があります。
平均律では、長６度は
　　1.681793
ですので、純正律の２種類の長６度を小数で表すと
　5/3 = 1.666666
　27/16 = 1.6875
このようになりますので、(5/3)の時は低めに、(27/16)の時は若干高めになります。
前者(5/3)は完全５度に小全音を加えた幅で、
後者(27/16)は完全5度に大全音を加えた幅になります。

◆短７度（増６度）

短７度：　(16/9)　または　(9/5)　または　(30/17)
これは単純に４度上(4/3)の４度上(4/3)と考えて
　(4/3) * (4/3) = (16/9)
となりますが、他に
５度上(3/2)の短３度上(6/5)
(3/2) * (6/5) = (9/5)
の２つがあります。
これらの異なる短７度でかけ算すると、　
　(16/9) * (9/5) = (16/5)
で、これは、短６度(8/5)の８度上(2/1)
　(8/5) * (2/1) = (16/5)
になります。
他に、増４度(24/17)の長３度(5/4)上
　(24/17)*(5/4)=(30/17)もあります。

◆長７度

５度上(3/2)の長３度上(5/4)で
　(3/2) * (5/4) = (15/8)
となります。
８度上(2/1)の半音下(15/16)でも
　(2/1) * (15/16) = (15/8)
なので同じです。

◆増４度（減５度）

この音は純正律で最も出しにくい音です。

増４度は、C-Fis, Cis-G, D-Gis, Es-A, E-B, F-H, Fis-C, G-Cis, Gis-D, A-Es, B-E, H-F
の組み合わせがあり、オクターブの中間の音と考えると
C-Fis-C
Cis-G-Cis
D-Gis-D
Es-A-Es
E-B-E
F-H-F
この組み合わせがあります。
黒鍵を使わずに白鍵だけで弾けるのは、この中のF-H-Fの組み合わせだけで、
F-H(ファ・シ）の比は、
(15/8) / (4/3) = (45/32)
H-F（シ・ファ）の比は、
(8/3) / (15/8) = (64/45)
となります。

増４度の増４度上の音がちょうど１オクターブ上の音になりますから、本来はルート２の値(1.41421356)ですが、
残念ながら、この(45/32)も(64/45)もルート２からは外れていますし、分子分母の値もかなり大きく、純正な響きとは言いがたいです。
他の組み合わせで、分子分母の値がこれより小さいものは、
(17/12)、(24/17)　および
(25/18)、(36/25)　があります。

この３つの組み合わせパターンで最も純正律としてふさわしいのは、ルート２の値に近く、また分子分母も小さい(17/12)と(24/17)の組でしょう。
ただ、一般的には「ファ・シ」(45/32)や「シ・ファ」(64/45)を採用している文献が多く、中には「ファ・シ」(45/32)のみを純正律の増４度と呼ぶこともあります。
分子分母の値を素数に分解すると、２、３、５という５までの素数に分けられる事を重視すると、(45/32)とい比は純正律にふさわしいですが、合理性と響きの美しさを考えると(17/12)を私は推します。
ただし、17倍音を基本にした音ですので、厳密な意味では純正律として挙げることは出来ないかもしれません。

◆純正律の半音と全音

純正律の１２音を全て比で表すと以下のようになります。

美しい響きを持つ純正律ですが、半音は４通り、全音も２通り（大全音と小全音）あります。
これらを使い分けなければ、美しい和音を作り出すことはできません。

最初に、「ドミソ」「ドファラ」「シレソ」の主要３和音から「ドレミファソラシド」を作りましたが、半音や全音をどのように使い分けたらいいか考えてします。

この表から、半音は臨時記号の無い限り、16/15の比が使えます。
全音は、２通りが使用され
「ドレ」、「ファソ」、「ラシ」は幅の広い大全音（9/8)を使い、
「レミ」、「ソラ」は幅の狭い小全音（10/9)を使っていることが分かります

広い全音（9/8)の場合の半音の組み合わせは
(17/16) * (18/17) = (9/8)

狭い全音(10/9)の場合の半音の組み合わせは
(16/15) * (25/24) = (10/9)
となります。

今度は、これをさらに細かく分けて１２音の全ての半音を調べてみます。

◆平均律と純正律の比較

最後に、平均律と純正律でどれぐらいの違いがあるのか、
表にまとめてみました。

　森口岳雄のホームページに戻る