和音と差音について

Ver.1.0 2002.1.22
改訂　Ver1.1 2002.7.13
改訂　Ver1.2 2003.7.27
森口岳雄

【１】和音と差音の定義
和音と差音の定義は以下のようになります。
　和音：　高さの違う２つ以上の音が合成されて出てくる音。
　差音：　２つの音の周波数の差によって生じる音。

和は足し算、差は引き算ですが、和音で足し算の対象となるのは２つの音の振幅の足し算（波形の合成）、差音で引き算の対象となるのは２つの音の周波数ですので、足し算や引き算の操作の対象が全く違うことを覚えて下さい。
また、差音を理解するには純正律の知識が必要ですので、私のレポート（純正律と平均律）を先に読んでいただくことを薦めます。

【２】差音の発生
差音は「うなり」と同様に、２つの音の振動数の差によって発生します。
２つの音の振動数が近いと、その差から発生する音の振動数は低く、音では無く「うなり」として聞こえます。
例えば、周波数４４２の音と４４０の音が同時に鳴ると、毎秒２回のうなりとして聞こえます。
実際にそれぞれの音（３秒間）を聞いてみましょう。
　　４４０Hz　の音　　（A440.mp3)
　　４４２Hz　の音　　(A442.mp3)
　　４４０Hzと442Hzを合成した音　(A440_442.mp3)
振動数の差は毎秒２なので、３秒間では６回のうなりが聞こえます。
次に、440Hzと448Hzを合成した音(A440_448.mp3)を聞いてみましょう。
この場合は、振動数の差は毎秒８なので、３秒間では２４回のうなりが聞こえます。


差音の発生で一番良く知られているのは、「ミ」と「ソ」の和音を弾く時に、「ド」の２オクターブ下の音が聞こえてくることです。
式で表すと、
基本となる「ド」の振動数を１とすると、「ミ」の振動数の比は　（５／４）、　「ソ」は　３／２になり、
　（３／２）　−　（５／４）　＝　（６／４）　−　（５／４）　＝　１／４
すなわち、基本の「ド」の音の２オクターブ下のが聞こえることになります。


実際に差音を聞いてみましょう。わかりやすくする為に１オクターブ音を上げています。
まずは、上のソ(G)の音。　　g7pure.mp3
次に、ミ(E)の音。　　　　　　e7pure.mp3
そして、この２つの音を合成した音。　　g7e7pure.mp3
ド(C)の音が聞こえてくるのが分かります。

これは、「ミ」「ソ」の和音に限らず、短３度の和音全部にあてはまり、
「短３度の和音を弾くと、和音の高い方の音の５度下の２オクターブ下の差音が発生する」
と言うことが出来ます。

ところで、平均律ではこのような響きにはならず、きたない音が聞こえます。
実際に音を聞いてみましょう。
　平均律のソ(G)の音。　　　g7.mp3
　平均律のミ(E)の音。　　　e7.mp3
　この２つの音を合成した音。　　g7e7.mp3
純正律の時は綺麗なドミソの和音になりましたが、平均律ではドの音とは違う汚い音になってしまいます。
　　　

注：　これらの音はオブジェクト指向言語「Squeak」(Ver3.0)で作りました。
　　　式は以下のとおりです。

(FMSound pitch: 440 dur: 3 loudness: 0.4) play.
(FMSound pitch: 442 dur: 3 loudness: 0.4) play.
(FMSound pitch: 448 dur: 3 loudness: 0.4) play

(FMSound pitch: 440 * 24/5 * 3/2 dur: 3 loudness: 0.4) play.
(FMSound pitch: 440 * 24/5 * 5/4 dur: 3 loudness: 0.4) play.

(FMSound pitch: 'g7' dur: 3 loudness: 0.4) play.
(FMSound pitch: 'e7' dur: 3 loudness: 0.4) play.

【３】音の合成
和音を鳴らせば、その２つの音の振動数の差によって差音が発生しますが、鳴らした音と違う第３の音として差音の存在に気付く場合と、鳴らした音のいずれかと同じ音程の差音が発生してその差音の存在に気付かない場合があります。

例えば、４度の和音では、「ソ」「ド」の和音を例に取ると
「ソ」は「ド」の４度下ですので、その振動数の差は
１　−　（３／４）　＝　１／４
すなわち、２オクターブ下の「ド」になります。
この場合、和音の上の方の音と同じ音程の差音が出ています。
また、５度の和音では、「ド」「ソ」の和音を例に取ると
「ド」の５度上が「ソ」ですので、振動数の差は
（３／２）　−　１　＝　１／２
すなわち、１オクターブ下の「ド」になります。
この場合、和音の下の方の音と同じ音程の差音が出ています。

５度の「ド」と「ソ」の音を、仮に綺麗な正弦波として表したのが下の図で、
赤い線が「ド」の振動で、青の線が(3/2)倍の振動数のソ」の音です。
緑色の線は、「ド」と「ソ」の振動を合成した音で、振動数は赤い線の半分ですので、「ド」の１オクターブ下の音とみなすことができます。



８度の和音の場合は下の図のようになります。
赤い線が先ほどと同じ「ド」の振動で、青の線がその１オクターブ上の「ド」の振動です。
この２つの音を合成したのが緑色の線で、波の形が違いますが振動数は赤と同じになっています。



８度の和音の場合は、差音が発生すると言うよりは音の波形が変わったと言うほうが良いと思います。

短３度の和音の場合は、同様に以下の図のようになります。

赤い線「ミ」、青い線「ソ」で、緑色が合成された音（２オクターブ下の「ド」）です。
周期としては青い線「ソ」の６倍、赤い線「ミ」の５倍になっています。
この合成された音に着目して、時間軸を縮めてみると次のような図になります。

うなりの様な波形の音が差音として聞こえてきます。

【４】それぞれの和音での差音の発生

◆短２度（半音）
短２度（半音）の和音の場合は、私のレポート（純正律と平均律）で書いたように
　１６／１５，　１７／１６，　１８／１７，　２５／２４
の４通りの組み合わせがあり、それぞれの音で差音が全く違って来ます。

例えば、「ミ」「ファ」の和音の場合でも、
16/15で半音を取った場合は「ファ」の４オクターブ下の音が、
17/16で半音を取った場合は「ミ」の４オクターブ下の音が、
18/17で半音を取った場合は「レ＃(Dis)」の４オクターブ下の音が、
25/24で半音を取った場合は「シ」の５オクターブ下の音が、
差音となります。

◆２度（全音）
２度（全音）についても、大全音(9/8)と小全音(10/9)の２通りがありますので、同様に差音として発生する音は違ってきます。

つまり、「ド」「レ」の和音の場合でも
9/8で取った場合は「ド」の３オクターブ下の音が
10/9で取った場合は「シのフラット(B)]の３オクターブ下の音が
差音となります。

◆短３度
既に説明したとおり、差音発生の代表的な例です。

「ミ・ソ」を鳴らすと、「ド」の音が派生音として聞こえますので、「ド・ミ・ソ」の和音になります。
同様に、「ラ・ド」の場合は、「ファ」の音が派生しますので、「ファ・ラ・ド」の和音に、
「シ・レ」の場合は「ソ」の音が派生しまうので、「ソ・シ・レ」の和音になります。

◆長３度

◆４度

◆増４度

7/17, 7/18, 11/25 13/32 は綺麗な響きの音にはなりません。

◆５度

◆短６度

「シ・ソ」の和音は短６度で、「シ」の長６度下は「レ」ですから、
「シ・ソ」の和音を鳴らすと、「レ」の音が派生し、「シ・レ・ソ」の和音になります。

◆長６度

「ド・ラ」の和音は長６度で、「ド」の５度下は「ファ」ですから、
「ド・ラ」の和音を鳴らすと、「ファ」の音が派生し、「ド・ファ・ラ」の和音になります。

◆短７度

◆長７度

【５】まとめ

差音は、大きく３つの種類に分けてることが出来ます。
１．　和音を構成する２つの音とは違う音階の音がでる場合
　　　短３度：　「ミ」「ソ」を鳴らすと２オクターブ下の「ド」が鳴る。
　　　長６度：　「ド」「ラ」を鳴らすと１オクターブ下の「ファ」が鳴る。
　　　短６度：　「シ」「ソ」を鳴らすと１オクターブ下の「レ」が鳴る。

２．　和音を構成する２つの音の低い方の音のオクターブ下の音が出る場合。
　　　５度：　　「ド」「ソ」を鳴らすと１オクターブ下の「ド」が鳴る。
　　　長３度：　「ド」「ミ」を鳴らすと２オクターブ下の「ド」が鳴る。

３．　和音を構成する２つの音の高い方の音のオクターブ下の音が出る場合。
　　　４度：　「ド」「ファ」を鳴らすと「ファ」の２オクターブ下の音が鳴る。

８度の場合は、上も下も同じ音階の音で、同時に鳴らすと下の音と同じ音程の音になります。
これを差音と呼べるのかどうかは疑問があります。

差音は２つの音の音程が微妙にずれただけで全く違う音階の音が発生することがあります。
ヴァイオリンでは、この差音の音で正しい音程が取れているかどうかを練習させる先生もいます。
例えば、純正律で「ミ」と「ソ」は弾いた場合は綺麗な「ドミソ」になりますが、ピタゴラス音律の「ミ」（大全音が２の高めの「ミ」）を取ってしまうと、「ドミソ」にならずに「「シミド」という和音が鳴ってしまいます。
ピタゴラス音律の例を式で表すと、「ソ」は純正律と同じ(3/2)ですが、「ミ」は（81/64)になりますですので、
(3/2) - (81/64) = (15/64) = (15/8) * 8
すなわち、「シ」の音の３オクターブ下の音ですので、「シミド」の和音になってしまい綺麗な響きにはなりません。

最後に、今回の説明は全て正弦波を用いましたが、ヴァイオリンの音等は倍音成分を多く含んでいますので、実際にはそれぞれの倍音同士での差音の組み合わせが多数出てきます。

以上
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